Polycons

1.09.2019

Polycone wurden von David Hirsch zuerst beschrieben. Er patentierte auch das Sphericon patentiert, als er es (unabhängig von anderen) 1980 entdeckte. Daher sind Polycone eine recht junge Entdeckung im sehr alten Mathematikbereich der Geometrie.

Das Sphericon, das im Artikel über Polysphericon besprochen wird, ist auch ein Mitglied der Familie der Polycone. Es kann daher auch als 2-con erzeugt werden und trägt daher neben dem Trivialnamen „Sphericon“ sowohl den Namen als (4,1)-Polysphericon, als auch den Namen 2-con.

Da das Sphericon zur Polyconfamilie gehört, überrascht es nicht, dass Polycone rollen können. Deren Rollverhalten ist dennoch unrund und mit dem Rollen einer Kugel nicht vergleichbar (vgl. Video unten).

Konstruieren eines Polycons:

Ein Polycon (oder auch n-con) wird nach folgendem Schema konstruiert. Die Bilder unterstützen die Vorstellung des Konstruktionsrezepts.

Konstruieren eines halben Kegels mit Öffnungswinkel α = 180° – 1/n·180°
Wegschneiden zweier Ecken mit einer Schnittebene im Winkel β = 90° – 1/n·180°
Obige Schritte (n-1)-mal wiederholen und die Objekte so anordnen, dass sie als Grundfläche ein 2n-gon bilden
Objekt an der x-y-Ebene spiegeln
Die beiden Hälften gegeneinander um den Winkel 1/n·180° verdrehen

Das resultierende n-con wird manchmal auch der Grundfläche entsprechend benannt. Ein 3-con wird so z.B. auch Hexacon (von griech. héxa, „sechs“) genannt.

Konstruktionsprozess eines 3-cons von links nach rechts. Es werden zwei Ecken vom Kegel abgeschnitten, dieses Stück wird noch fünf Mal dupliziert und zu einem Körper zusammengefügt.
Nun müssen beiden Hälften gegeneinander gedreht werden.
Das resultierende 3-con (=“Hexacon“).

Rollende Polycone:

Polycone sind abwickelnde Objekte, was bedeutet, dass der Körper über ganze Oberfläche abrollt (beim Rollen die Rollebene berührt). Am Gegenbeispiel des Würfels oder der Kugel wird die dort fehlende Eigenschaft deutlich.

Im Gegensatz z.B. zum Oloiden, bleibt der Schwerpunkt eines Polycons auf einer Höhe. Man kann sich fragen, weshalb ein Polycon dann nicht glatt rollt und zu torkeln scheint.

Aus Symmetriegründen, kann der Schwerpunkt eines n-Polycons nur in der Mitte des 2n-gons liegen. Das Video unten verdeutlicht, dass sich der Schwerpunkt nicht auf einer geraden Linie bewegt, sondern von links nach rechts und zurück wandert. Von oben betrachtet besteht die Trajektorie des Schwerpunkts aus Halbkreisen.

Dieses Wanken nach links und rechts erzeugt den Effekt, dass sich das Polycon nicht glatt bewegt, obwohl sie die Größe der kinetischen Energie nicht ändert.

Slow Motion Video eines rollenden 3-cons („Hexacon“).

Weiterführende Informationen (Links außerhalb der HITS Website):

Allgemeine Informationen mit Rechungen für Volumen und Oberfläche: https://arxiv.org/pdf/1901.10677.pdf
Konstruktionsvideo eines 3-cons: https://www.youtube.com/watch?v=tbH56N9mdX0